Abordez le programme des classes préparatoires avec vos prérequis du lycée, et résolvez des exercices posés aux oraux des concours d’entrée.
Arithmétique
Discipline mère des mathématiques, l’arithmétique est idéale pour initier à l’art de la preuve et à la logique mathématique. Elle consiste essentiellement en l’étude des nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, etc.). Il est très facile en arithmétique de formuler des problèmes qui résistent à l’épreuve du temps: Il existe une infinité de couples de nombres premiers dont la différence vaut 2. On peut donner les exemples des couples (3,5), (5,7) ou encore (11,13) dont la différence vaut 2. Ce problème fait partie du défi lancé par David Hilbert à la communauté mathématique en 1900 et demeure irrésolu.
Combinatoire & Cardinalité
La combinatoire consiste en le dénombrement méthodique des arrangements d’ensembles finis: Combien de tirages possibles au Loto ? Combien de configurations d’échiquier pour faire mat en 3 coups ? La notion clé que nous aborderons est celle de bijection. Cela nous permettra en outre un prolongement à propos des ensembles infinis: Existe-t-il une classification selon la taille (ou cardinal) des ensembles infinis ? Nous tenterons d’y répondre en effleurant la théorie des ensembles de Georg Cantor.
Algèbre & Géométrie
Notre effort sera principalement de nous familiariser avec la notion de groupe, structure fondamentale de l’algèbre générale. Nous verrons comment cette notion apparaît naturellement en arithmétique, en combinatoire ou encore en géométrie. On portera une attention particulière à l’étude des groupes des isométries du plan et de l’espace. Nous entendons par isométrie toute permutation des points (du plan ou l’espace) qui conservent les distances (si A → A’ et B → B’ alors AB = A’B’).